Programme du jeudi 25 août

A la recherche des points de convergence entre les cours de géographie et de mathématiques. L’objectif de l’exposé est de mieux identifier les liens entre des matières utilisant des notions parfois semblables avec du vocabulaire différent et parfois, des notions différentes avec un vocabulaire pourtant identique

Pour poser un problème, pour expliquer une propriété ou pour montrer une application, un petit film réussit parfois mieux à motiver les élèves qu’un texte dans le manuel ou au tableau. Je vous montrerai plusieurs exemples. Une erreur mathématique au journal télévisé peut être montrée le lendemain en classe pour en discuter avec les élèves. Un extrait du film « The story of 1 » peut éclairer l’irrationalité de racine de 2. Dans ces deux exemples, les extraits filmés sont disponibles sur Internet. Mais comment les télécharger afin de les montrer aux élèves sans connexion Internet ? Si j’en suis capable, vous l’êtes aussi ; je vous le montrerai. Parfois, l’extrait de film que vous cherchez n’existe pas. Pourquoi ne pas le produire vous-même ? Avec la rédaction d’Uitwiskeling, sans aucune expérience en la matière, nous avons produit sept petits films, offerts en cadeau à nos lecteurs. Par exemple, pour introduire un exercice sur les fonctions exponentielles, nous avons mis en scène la découverte d’un cadavre. Ce petit thriller contient les données permettant aux élèves de calculer l’heure du crime. Ici aussi, je montrerai comment vous pouvez vous aussi produire de tels petits films pour vos cours.

Explorer l’univers des mathématiques et leur évolution au cours du temps est en quelque sorte un voyage éternel. Nous avons pris conscience de certaines étapes parcourues parmi lesquelles la géométrie euclidienne occupe une place importante.
Quel est donc ce parcours allant de la géométrie euclidienne à la théorie des symétries et finalement à la mécanique quantique (et à leur enseignement au niveau du lycée…) ? D’abord, il y eut Pythagore qui a utilisé le 5e axiome d’Euclide, des parallèles, a construit l’angle droit, ensuite le carré et finalement toutes les constructions. Platon les a décrites dans son œuvre « POLITEIA-CITE ». Les différentes méthodes de la géométrie qui ont été créées (l’homothétie, la réflexion, l’inversion, la rotation, …) ont trouvé leurs expressions à travers la géométrie analytique. L’outil de cette expression de toutes ces méthodes que nous avons utilisé pour exprimer leur conception ou bien leur nouvelle signification a été la notion de groupe (Galois), c’est-à-dire les notions de translation, de rotation, etc. Le fondement de la notion d’espace vectoriel à travers des systèmes linéaires a abouti à révéler l’existence de l’harmonie, de la symétrie dans la nature. On la rencontre chez les plantes, les organismes vivants, la biologie, la géologie. Pour l’utilisation de ces méthodes, on touche au problème de l’enseignement de la mécanique quantique au niveau du lycée. Le sujet est vaste parce que l’harmonie, la symétrie sont l’essentiel du monde au niveau macroscopique aussi bien qu’au niveau microscopique.

Simone et son mari Arthur roulent sur l’autoroute Nancy-Lyon-Grenoble… Au gré du trop long voyage à son goût, Arthur, mathématicien dilettante,  s’amuse alors à réfléchir à des notions d’espace parcouru et de vitesse et soumet ses réflexions à son épouse sous forme d’une énigme dont la réponse sera donnée par le théorème des accroissements proportionnels.

Cette situation problème, directement utilisable en classe, permet d’illustrer et de revisiter des théorèmes fondamentaux de l’analyse qui traitent des propriétés des fonctions continues et/ou dérivables. Elle permet aussi de se familiariser avec les notions de fonctions définies par morceaux et débouche sur l’utilisation du calcul intégral.

La conférence sera illustrée de manière dynamique à  l’aide du logiciel TI-Nspire.

Le problème P=NP est un problème mathématique précis, aisé à formuler. Sa singularité réside dans les conséquences qu’aurait sa résolution. Si P=NP, on peut espérer résoudre rapidement la plupart des défis mathématiques et scientifiques auxquels nous sommes confrontés. Si P?NP, on peut espérer rendre inconditionnelle la sécurité des interactions électroniques.

Dans cet exposé, on expliquera la notion de complexité algorithmique qui permet de formuler le problème P=NP, et nous expliquerons ses implications, en mathématiques, en informatique mais aussi dans d’autres domaines.

Que de progrès depuis 1922 et l’idée de Richardson de prévoir le temps avec un modèle météorologique. En 1950, il fallait un mois pour prévoir un jour. De nos jours, grâce à l’évolution technologique et l’amélioration des performances des ordinateurs, la prévision pour les dix prochains jours se fait en quelques dizaines de minutes. Mais après tout, qu’est-ce qu’un modèle météo ? Comment cela fonctionne-t-il ? Quelles sont les formules mathématiques qui se cachent derrière tout cela ? Nous nous intéresserons également aux différents types de modèles ainsi qu’à leur utilisation dans le domaine de la prévision météo. Nous terminerons cet exposé par la présentation d’applications opérationnelles, notamment la prévision du vent pour les éoliennes et le routage des bateaux.

C’est bien connu qu’il n’est pas nécessaire de voyager loin pour rencontrer des applications et des illustrations de notions mathématiques! Notre environnement quotidien, apparemment banal nous en donne l’opportunité.

La séance sera, à la fois un exposé et un atelier de réflexion sur les exploitations possibles de ces visions occasionnelles particulièrement dans le domaine de la géométrie.

Après la présentation d’un court diaporama, un exemple d’exploitation d’une situation débouchant sur de jolies surprises sera proposé à la sagacité active des participants.

Nous  construirons des cartes de différentes formes en y plaçant des méridiens et parallèles.

Nous étudierons les déformations locales lors du passage du globe aux cartes en recherchant ce que deviennent sur la carte de petits cercles tangents au globe, en n’utilisant que la trigonométrie du triangle rectangle dans des plans bien choisis.

Nous avons appris dans notre enfance les fondements du calcul (numération, opérations) qui nous paraissent donc gravés dans le marbre comme les tables de la Loi : « 2 et 2 feront toujours 4 » ; plus tard, nous nous sommes délectés d’algèbre, voire d’analyse, pensant qu’il n’y avait pas mieux pour résoudre les problèmes.

Seulement, cela n’est pas immuable ; les techniques ont varié suivant l’époque et le lieu et l’on ne faisait pas les mêmes multiplications à Barcelone qu’à Londres ou Anvers au 16^e siècle. En outre, la résolution de problèmes ne passait pas par l’algèbre, mais par une arithmétique calculante fondée sur la règle de trois (qui est bien suffisante pour la plupart des affaires humaines.) Et l’arithmétique faisait voyager ! Nous n’en donnerons qu’un exemple : « Si 59 livres de Nuremberg font 100 livres à Vienne, que 25 livres de Vienne font 16 livres d’Anvers, que 9 livres d’Anvers font 10 livres de Lyon, combien 100 livres de Lyon font-elles de livres de Nuremberg ? » (Valentin Mennher, 1570)

TI-Nspire est un logiciel mathématique de la nouvelle génération, aux applications pédagogiques variées. Accessible à tous, il est disponible sur ordinateur (sous forme de  logiciel) ou sur une calculatrice TI-Nspire (qui a les mêmes fonctionnalités). Il peut être utilisé, à tout moment, par les professeurs ou les élèves en classe ou à la maison et peut produire, en direct, à  partir d’un dispositif multimédia, des maths « animées ». En effet,  réellement interactif, il permet de travailler simultanément sur des calculs, des graphiques, des tableaux  et allège les calculs lourds et fastidieux.

Dans cette seconde partie, nous construirons, de manière pratique, quelques fichiers utilisés dans la première partie à l’aide du logiciel interactif TI-Nspire. À partir d’une page blanche, en utilisant quelques instructions simples et les mémoires pour le stockage de données, vous pourrez vous rendre compte de l’efficacité et de la convivialité de ce logiciel (notamment au niveau de son éditeur mathématique).

Pour participer à cet atelier, il est préférable de se munir d’un portable et d’y avoir installé préalablement le logiciel TI-Nspire CAS. Celui-ci sera disponible au stand Texas. Il peut aussi être téléchargé sur Internet en version utilisable 30 jours sur le site de Texas Instrument.