Programme du vendredi 25 août 2017

Un atelier pour toucher les maths en espérant que les participants seront aussi touchés par leurs beautés, et leurs formes. Partant de l’outil PNL (Programmation Neuro Linguistique) pour sentir quels sens sont privilégiés par chacun de nous, nous verrons comment le pédagogue, les parents ou les enseignants peuvent s’en servir pour faire passer certaines notions mathématiques.
Je présenterai aussi des jeux facilitant l’apprentissage mathématique par le kinesthésique ; des manipulations à l’aveugle, des approches pour prendre en main les difficultés sans oublier comment connaître ses tables de multiplication sur le bout des doigts.

Pour aider les élèves à construire les premiers pas de leurs mathématiques il est nécessaire de comprendre comment se forment et se transforment les concepts. C’est au travers de la lecture et de l’analyse des productions des élèves que nous repérons les obstacles inhérents à la construction des savoirs. Nourris par la connaissance didactique de ces concepts nous construisons des parcours adaptés au franchissement progressif de ces obstacles. Venez découvrir les premières rencontres d’élèves de quatrième dans l’univers des vecteurs et leurs premiers pas parmi des familles de points, reliant des cadres numériques, graphiques et algébriques, ainsi que la gestion que nous en proposons.

Au cours de ma carrière, en tant qu'enseignant à tous niveaux (j'ai fait des formations musicales en maternelle et primaire et j'ai enseigné les maths générales dans le secondaire, les maths économiques dans des hautes écoles et universités), ou en tant que parent (4 enfants sont passés par tous ces mêmes niveaux), j'ai pu observer que la nature même des maths faisait l'objet de considérations très différentes voire antithétiques.

Parmi les premiers pas des mathématiques figurent le théorème de PYTHAGORE et les nombres premiers. Nous nous intéresserons aux solutions entières de l’équation x^2+y^2=z² mod(p) où p est un nombre premier pas trop petit (p?7). Pour p donné, nous chercherons à dénombrer ces solutions ; ce qui sera l’occasion d’utiliser les notions de groupes, de sous-groupes, de congruences. Nous terminerons par une partie algorithmique permettant, en utilisant plusieurs logiciels (python, ruby, scilab), d’établir des programmes fournissant, pour des valeurs de p « raisonnables », la liste des triplets pythagoriciens modulo p.

Quels premiers pas des mathématiques vers l'interdisciplinarité? Dans notre groupe Didactique de recherche IREM– PERMES– IFÉ de Caen, nous faisons le choix de créer des « univers expérimentables » pour mettre nos élèves dans l'action. Nous leur proposons des situations complexes ou pas, didactiques ou a-didactiques, ouvertes sur le monde réel, qui les placent dans des univers familiers et/ou interdisciplinaires. Nous gérons leurs productions pour élaborer en action didactique conjointe la construction des savoirs visés. Nous permettons ainsi l'individualisation des apprentissages dans le collectif pour construire des connaissances et compétences mathématiques dévolues par les programmes et ainsi, par interdisciplinarité et transdisciplinarité, créer du sens et des liens entre les savoirs disciplinaires.
Nous présenterons 3 ou 4 actions menées en individuel et /ou en collectif d'enseignants dans nos classes de collège faisant l’objet d'échanges et de questionnement en fin de communication.

Nous présentons différents problèmes de combinatoire (ex: calcul des nombres de Catalan) et de probabilité (ex: problème de secrétaire) avec leur résolution détaillée ainsi qu’un contexte ludique/appliqué dans lequel ils peuvent être présentés. Ces calculs permettent de brasser de nombreuses mathématiques vues en secondaire et peuvent servir pour agrémenter les cours consacrés à ces disciplines.


Documents :


1. Keynote : https://www.dropbox.com/s/wjmmsavd9f0r8g9/Talk%20V1.key?dl=0 (29 Mb, format original)
2. pdf : https://www.dropbox.com/s/5k0kfjtfssdf7oz/Talk%20V1.pdf?dl=0 (12 Mb)
3. powerpoint : https://www.dropbox.com/s/ecyhi8by5001jm0/Talk%20V1.pptx?dl=0 (12 Mb)

Je présenterai un échantillon de problèmes de plusieurs concours et compétitions pour des élèves jusqu’à un âge de 15-16 ans environ.

La forme d’une chaîne ou d’un câble suspendu en deux points dans le champ de pesanteur est celle du graphe de la fonction cosh, le cosinus hyperbolique. Cette « chaînette » figurait déjà dans mon premier atelier pour la SBPM, au congrès de 1990 à Tournai. Récemment, elle a attiré à nouveau mon attention, et celle de mes élèves, « grâce » à une belle erreur dans le manuel. Remarquerez-vous cette erreur ? Je profiterai de l’occasion pour rappeler (aux uns) et faire découvrir (aux autres) la démonstration de la forme de la chaînette à partir de la force de pesanteur. Nous préciserons la différence entre la chaînette et la parabole ainsi que les ressemblances étonnantes entre les fonctions hyperboliques et les fonctions trigonométriques.

1. Laura Bar, Sylvie Martin et Amandine Opassich, Une application du processus Lesson Study en mathématique

Résumé : Le processus Lesson Study ou « études collectives de leçon » est un dispositif de recherche-formation né au Japon et beaucoup travaillé en Suisse. Il vise à améliorer les pratiques enseignantes et les apprentissages de tous les élèves. Il est mené de manière collaborative par un groupe d’enseignants pouvant être accompagné de chercheurs.
L’idée est d’analyser en profondeur une matière pouvant poser problème aux enfants et de construire collectivement une leçon. Celle-ci est alors donnée une première fois par un enseignant du groupe dans sa classe pendant que les autres observent. En fonction de ces observations, la leçon est ajustée puis donnée une deuxième fois par un autre membre du groupe. Une troisième version de la leçon est alors rédigée puis testée dans la classe d’un participant.
Ce processus cyclique vise à améliorer la qualité de la leçon et à optimiser l’action de l’enseignant et les apprentissages des élèves.
Nous rendrons compte de notre expérience dans le cycle 8-10 pour l’apprentissage des tables de multiplication à l’aide du tableau de Pythagore.

2. Marlène D’hondt, présentation basée sur le jeu « concept » pour des DASPA (primo-arrivants).

Atelier de jeu

3. Habib Ben Aicha, Comment former des citoyens critiques à travers l’enseignement des mathématiques ?

Résumé : Dans nos classes, beaucoup d’élèves pensent que faire des mathématiques consiste à appliquer des formules, utiliser des propriétés de façon mécanique ou suivre des procédures de calcul. Comment lutter contre ces automatismes qui sont un frein réel à la réflexion et la pensée autonome, nécessaires à la formation des citoyens critiques de demain ? La piste exploitée ici est celle du débat scientifique. Quelques questions ont été soumises aux élèves et ont permis de leur déléguer la recherche de conjectures, de solutions, d’arguments et de preuves à travers un débat qui les a incités à douter, critiquer et changer de point de vue. Nous rendrons compte de certains de ces débats et de leur analyse.

4. Axelle Finné, Comment dynamiser l’enseignement du théorème dit de Thales sur le plan didactique et pédagogique.

Résumé : Le sujet du travail consiste à trouver comment dynamiser l’enseignement du théorème de Thalès sur le plan à la fois didactique et pédagogique. La recherche épistémologique réalisée montre les divergences d’opinions qui règnent autour de Thalès depuis ses origines, au VI^e siècle avant J.-C. On retrouve d’une part les partisans d’Euclide et d’autre part les adeptes d’Arnauld et de son retour à l’ordre naturel des savoirs. Ce théorème devrait porter le nom de « théorème des lignes proportionnelles » puisque l’étude approfondie de son approche didactique met en évidence la nécessité du parallélisme et de la notion de projection. Un abord combiné des deux aspects, « projection » et « homothétie »  permettrait aux élèves de surmonter les difficultés dans la manipulation des différents types de rapports. Le but principal des animations est, du point de vue pédagogique, de dynamiser la présentation du théorème de Thalès en rendant visuelles ou palpables ces égalités de rapports parfois compliquées à saisir par les élèves.

La problématique exposée dans ce travail est sujette à maintes perplexités tant au niveau du corps professoral dans la façon de dispenser le savoir que dans le chef des élèves dans la compréhension de la matière dispensée.

5. Alyson Dupont, Conceptualisation de notions ensemblistes chez des élèves du secondaire - Une étude de cas.

Résumé : Notre mémoire traite de la compréhension de certaines notions ensemblistes d’élèves de 5^ème et 6^ème années de l’enseignement secondaire. Nous montrerons tout d’abord quels statuts ces notions peuvent avoir dans les manuels et quels mots sont utilisés pour les définir et les manipuler. Nous présenterons ensuite les résultats d’un questionnaire proposé à des élèves visant à leur faire manipuler les mêmes notions de théorie des ensembles dans les domaines de l’algèbre, l’analyse et les probabilités. Nous mettrons l’accent d’une part sur le vocabulaire utilisé dans les justifications et d’autre part sur les difficultés des élèves à manipuler ces notions en fonction du domaine de travail.

Notre démarche consiste à mettre des élèves du début du secondaire au défi de construire des polygones à partir des plis de base de l’origami, en respectant certains principes qui garantissent par exemple l’égalité des mesures de longueur de segments ou d’amplitude d’angles, par pliage. Au cours de cet exercice, on comprend assez vite que pour arriver à construire la figure demandée par pliage, il est important d’en choisir la « bonne » définition et/ou de faire appel à ses propriétés de symétrie. Ceci amène donc tout naturellement une discussion sur l’équivalence des différentes définitions que l’on peut utiliser pour caractériser une figure. Au cours de notre atelier, nous mettrons les participants en situation puis nous décrirons la manière dont cette séquence d’apprentissage, depuis la mise en situation jusqu’à la phase de structuration, a été expérimentée dans des classes de 2ème commune. Nous parlerons aussi de variantes expérimentées dans des classes de 1ère et de 2ème de niveau très faible.

Le cercle trigonométrique est un outil très riche : il permet de travailler avec des angles de n’importe quelle amplitude, de visualiser les nombres trigonométriques d’un angle, de visualiser les liens qui unissent les angles associés, … Mais il peut générer des obstacles pour nos élèves : le cosinus est une abscisse dans le cercle trigonométrique et une ordonnée dans la fonction f(x)=cos(x), les élèves parlent du sinus d’un point, les élèves ne savent pas si les nombres trigonométriques sont indépendants ou non du rayon du cercle, …
Cet exposé parcourra l’historique du cercle trigonométrique, relèvera quelques conceptions erronées dues à son utilisation et proposera une réflexion sur sa place dans un cours de trigonométrie en secondaire.

Comment les maths permettent aux USA, via la NSA, de nous espionner tous : un exemple. Exposé.
S’il arrive que vos élèves vous disent : « Pfff … Madame, Monsieur… Mais ça sert à quoi toutes vos maths ? », alors cet exposé devrait vous intéresser ! Depuis les révélations d’EDWARD SNOWDEN en 2013, le monde a découvert avec stupeur que la NSA nous espionne tous (GSM, ordinateur, …), tous même… vous et vos élèves ! Nous verrons, sur un exemple, que les mathématiques utilisées par la NSA ne sont pas forcément compliquées et peuvent être expliquées à vos élèves pour peu qu’ils comprennent, même intuitivement, les notions de courbe, droite, symétrie axiale, polynôme, racine, point à l’infini, groupe commutatif, sécurité informatique, générateur de nombres pseudo-aléatoires. De plus le contexte est un vrai roman d’espionnage sauf que c’est dans la « vraie vie » et à la une de l’actualité !

Depuis 3 ans, l'Université de Liège propose à un nombre croissant d'établissements secondaires belges de se joindre au mouvement "Math.en.Jeans".
En tant qu'enseignants, nous avons invité nos élèves à y participer depuis la première fois. Nous donc pu encadrer de nombreux groupes dans leurs ravaux de recherche et de rédaction.
Cet atelier vous permettra donc de découvrir plus précisément ce qu'est "Math.en.Jeans" principalement au travers de 3 exposés. Les élèves viendront eux-même présenter leurs réalisations comme ils l'ont fait lors du congrès de Liège fin mars 2017."

Malgré leur apparente transparence, les expressions de la langue mathématique constituent parfois un obstacle dans l'apprentissage et l'enseignement des concepts auxquels elles ont trait. Pour cette raison, l'analyse de ces expressions représente un véritable enjeu pour la didactique des mathématiques.
Le CREM vous propose, au travers de cette rencontre, de découvrir LOGLANG, projet de recherche destiné à porter un éclairage sur ces difficultés insoupçonnées, à sensibiliser et à informer à leur propos. Au moyen d’exemples issus de notre travail de recherche, nous attirerons votre attention sur certaines caractéristiques des expressions mathématiques, et montrerons en quoi elles peuvent faire barrage à l'apprentissage et l'enseignement des mathématiques.