Programme du mardi 20 août 2024

Les Éléments" d'Euclide sont l'un des plus anciens textes complets de mathématiques grecques qui nous est parvenu. Symbole de la géométrie, ce texte a eu une influence considérable pendant des siècles. Toutefois, au XIXème siècle, des mathématiciens ont découvert qu'il existe d'autres cadres possibles pour faire de la géométrie, dans lesquels les résultats d'Euclide ne s'appliquent plus ! Dans ces "mondes" la lumière ne se déplace plus en ligne droite, bouleversant ainsi notre perception visuelle. Dans cet exposé, on explorera ce qu'on verrait si l'on vivait dans une de ces géométries non-euclidiennes. Cette promenade sera l'occasion d'explorer leurs propriétés (parfois déroutantes) ainsi que leurs applications.

Qui n'a jamais fait une faute de frappe ou d'orthographe que notre ordinateur, smartphone ou autre nous signale? Comment fait-il? Lorsque nous tapons un faux numéro de compte en banque sur un virement, l'appareil utilisé nous indique que ce n'est pas un numéro valide. Des sondes spatiales envoient des images depuis l'espace qui sont nettes alors que beaucoup d'interférences peuvent les affecter. Si on raye un disque vinyle, il est perdu tandis que ce n'est pas le cas pour un CD. Comment le monde numérique fait-il pour détecter nos fautes voire les corriger?

Le package propose des macro-instructions pour dessiner "à la Euclide", comme son nom le laisse suggérer. En voiture pour des médiatrices, bissectrices, perpendiculaires, orthocentre, cercle des 9 points, cercle tangent à 3 droites, pentagone et dodécagone, astroïde, tétracuspide et familles de cercles, ellipses, ovoïde et ovale, hexagramme de Pascal, théorème de Fukuta-Cerin, théorème de Napoléon, ... bienvenue chez les Grecs !

Un son est constitué de trois éléments majeurs : une hauteur, une durée et une intensité. La hauteur, c’est ce qui différencie un son aigu d’un son grave. La hauteur fait référence aux notes de la gamme : Do, Ré, Mi… Mais d’où vient cette gamme ? Comment a-t-on décidé de travailler spécifiquement avec ces hauteurs-là ? Quelles mathématiques se cachent derrière l’écriture de ces notes sur une portée ? La durée, c’est un laps de temps, c’est ce qui crée le rythme d’une mélodie. Mais comment note-t-on le rythme en musique ? Quelle est la différence entre le rythme et le tempo ? Et qu’est-ce que les mathématiques peuvent bien venir faire là-dedans ? Enfin, l’intensité, c’est le volume. Mais comment mesure-t-on le volume ? Comment se propage le son ? En quoi les logarithmes nous indiquent-ils que les sons de basses fréquences sont plus dangereux pour nos oreilles ?

En analysant les accords consonants, les différents types de sons ou encore le fonctionnement de Shazam, cet exposé mettra en avant les liens entre la musique et les fractions, les logarithmes, les sinusoïdes, les groupes « modulo » et autres surprises. Il n’est pas nécessaire d’être un connaisseur en musique pour assister à l’exposé, toutes les notions indispensables à sa bonne compréhension seront expliquées au fur et à mesure.

Ces jeux que nous retrouvons dans les magazines ou les quotidiens sont-ils des jeux mathématiques ? J'ai posé la question à des amis qui sont souvent des mathématiciens ou des profs de math et je ferai une synthèse de leurs avis.
Je parlerai de 4 grandes sortes de jeux :
• D'abord du sudoku qui est un jeu en forme de grille inspiré du carré latin, mais aussi relié à un problème connu depuis Leonhard Euler.Le but du jeu est de remplir la grille avec une série de chiffres (ou de lettres ou de symboles) tous différents. Je commence par celui-ci car je l'ai travaillé avec des élèves de 2R en 2009 faisant avec eux un travail en équipe mais aussi un exercice de résolution explicative genre « narration de recherches ». Je chercherai à vous initier à la classification des sudokus et je montrerai les maths qu'on peut y mettre.
- Ensuite viendra le kakuro qui est un jeu logique que l'on perçoit souvent comme une adaptation numérique des mots croisés. Au Japon, ce jeu est connu sous le nom de Kakkuro, sa popularité est immense. Bien qu'il soit apparu en France vers 2004-2005 dans le sillage du sudoku, ce jeu est connu depuis plus longtemps venant des USA fin des années 1960.
- Après ,comme j'ai toujours eu un faible pour la géométrie et un lien avec mon Parc animalier préféré, il y a les sangaku ou san gaku qui sont des tablettes de bois votives présentes dans certains temples japonais, sur lesquelles figurent des énigmes gravées de géométrie euclidienne. Ces objets établissent un lien avec la vie artistique et la vie religieuse par le biais des mathématiques.
- Pour terminer je parlerai du binero relativement plus simple, il vient du Takuzu ou du binairo au Japon.

\( \sqrt{2}\) apparait sur les dessins géométriques, dans les calculs dans des cahiers dont il est la proportion, en diagonale de nos carrés… On la dessine, on la manipule, on calcule avec elle, on l’approxime. Elle n’est pas rationnelle, ses décimales semblent aléatoires, elle est impressionnante. À la fois merveilleuse et monstrueuse, est-elle un nombre? Qu’en disent les mathématicien·nes d’hier et d’aujourd’hui? Comment les aspects géométriques, algébriques, analytiques et numériques peuvent-ils se compléter? Comment pourrait-on y éveiller les élèves?